Contributions à la modélisation et à l'inférence des fonctions aléatoires non-stationnaires de second ordre

Stationary Random Functions have been sucessfully applied in geostatistical applications for decades. The underlying spatial dependence structure of the Random Function is represented by a stationary variogram or covariance. However, in some instances, there is little reason to expect the spatial dependence structure to be stationary over the whole region of interest. In this manuscript, two non-stationary modelling approaches for Random Functions are considered: space deformation and stochastic convolution. For each of them, we develop a statistical methodology for estimating the non-stationary spatial dependence structure, in the context of a single realization. Moreover, we also show how spatial predictions and conditional simulations can be carried out in this non-stationary framework. The developed inference methods allow to capture varying spatial structures while guaranteeing the global consistency of the final model. The assessment of their performance on both synthetic and real datasets show that they outperform stationary method, according to several criteria. Beyond the prediction, they can also serve as a tool for exploratory analysis of the non-stationarity.Les fonctions aléatoires stationnaires ont été utilisées avec succès dans les applications géostatistiques depuis plusieurs décennies. La structure de dépendance spatiale sous-jacente de la fonction aléatoire est alors représentée par un variogramme ou une covariance stationnaire. Cependant, dans certaines situations, il y a très peu de raisons de s'attendre à une structure de dépendance spatiale stationnaire sur l'ensemble du domaine d'intérêt. Dans cette thèse, deux approches de modélisation non-stationnaire de fonctions aléatoires sont considérées: déformation d'espace et convolution stochastique. Pour chacune d'elle, nous développons une méthodologie statistique d'estimation de la structure de dépendance spatiale non-stationnaire, dans le contexte d'une réalisation unique. Par ailleurs, nous montrons également comment dans ce cadre non-stationnaire, les prédictions spatiales et les simulations conditionnelles peuvent être menées. Les méthodes d'inférence développées permettent de capturer des structures de dépendance variables tout en garantissant la cohérence globale du modèle final. L'évaluation de leur performance selon plusieurs critères, sur des données synthétiques et réelles montre qu'elles donnent de meilleurs résultats de prédiction qu'une méthode stationnaire. Au delà de la prédiction, elles peuvent également servir comme outil pour une analyse exploratoire de la non-stationnarité

Breccia Pipe Estimation: a new approach using non-stationary covariances

International audienceThe El Teniente mine is famous not only as one of the largest known porphyry-copper ore bodies but also, among geologists, for its typical breccia pipe named “Braden”, an almost vertical poorly mineralized cone, located at the center of the mine and surrounded by early-stage mineralizations. As the edge of the pipe constitutes the limit of the deposit and of the mining operation, estimating it accurately is important. In this paper, we are interested in estimation of the elevation of the pipe surface using a geostatistical approach based on non-stationary covariances. Previous approaches have been applied on this dataset by Séguret and Celhay (2013). The proposed estimation method offers an integrated treatment of all aspects of non-stationarity (mean, variance, spatial continuity) in the modelling process. The proposed method has revealed an increased prediction accuracy when compared to standard stationary method, and demonstrated the ability to extract the underlying non-stationarity from a single realization. A comparison of predictions and prediction standard deviations maps indicates that the proposed non-stationary method captures some varying spatial features (such as locally varying anisotropy) in the data that are not present using the stationary method, the outcome appears more realistic

Estimation of Space Deformation Model for Non-stationary Random Functions

Stationary Random Functions have been successfully applied in geostatistical applications for decades. In some instances, the assumption of a homogeneous spatial dependence structure across the entire domain of interest is unrealistic. A practical approach for modelling and estimating non-stationary spatial dependence structure is considered. This consists in transforming a non-stationary Random Function into a stationary and isotropic one via a bijective continuous deformation of the index space. So far, this approach has been successfully applied in the context of data from several independent realizations of a Random Function. In this work, we propose an approach for non-stationary geostatistical modelling using space deformation in the context of a single realization with possibly irregularly spaced data. The estimation method is based on a non-stationary variogram kernel estimator which serves as a dissimilarity measure between two locations in the geographical space. The proposed procedure combines aspects of kernel smoothing, weighted non-metric multi-dimensional scaling and thin-plate spline radial basis functions. On a simulated data, the method is able to retrieve the true deformation. Performances are assessed on both synthetic and real datasets. It is shown in particular that our approach outperforms the stationary approach. Beyond the prediction, the proposed method can also serve as a tool for exploratory analysis of the non-stationarity.Comment: 17 pages, 9 figures, 2 table

A Generalized Convolution Model and Estimation for Non-stationary Random Functions

Standard geostatistical models assume second order stationarity of the underlying Random Function. In some instances, there is little reason to expect the spatial dependence structure to be stationary over the whole region of interest. In this paper, we introduce a new model for second order non-stationary Random Functions as a convolution of an orthogonal random measure with a spatially varying random weighting function. This new model is a generalization of the common convolution model where a non-random weighting function is used. The resulting class of non-stationary covariance functions is very general, flexible and allows to retrieve classes of closed-form non-stationary covariance functions known from the literature, for a suitable choices of the random weighting functions family. Under the framework of a single realization and local stationarity, we develop parameter inference procedure of these explicit classes of non-stationary covariance functions. From a local variogram non-parametric kernel estimator, a weighted local least-squares approach in combination with kernel smoothing method is developed to estimate the parameters. Performances are assessed on two real datasets: soil and rainfall data. It is shown in particular that the proposed approach outperforms the stationary one, according to several criteria. Beyond the spatial predictions, we also show how conditional simulations can be carried out in this non-stationary framework.Comment: 24 pages, 10 figures, 2 table

MODERN MINING GEOSTATISTICS - CONVENTION WITH CODELCO YEAR 10 (2015) - ANNIVERSARY REPORT

During the 10th year of the convention between CODELCO and the Ecole des Mines of Paris, effort has been made to promote the work done the last two years by attending four congresses in three countries (Chile, France, Germany), two presentations being made by engineers of Codelco.This anniversary report is presented as a catalog containing the papers and the relevant oral presentations with comments. This report is not confidential and can be distributed in the good will of managers and engineers. Topics are :1 Geostatistical comparison between blast and drill holes in a porphyry copper deposit (Sampling congress 2015, Bordeaux, France)2 Diamond Drill Holes, Blast Holes & Cokriging (Mine-Planning 2015, Antofagasta, Chile)3 Anisotropy of the Rock Quality Designation (RQD) & its Geostatistical Evaluation (Geomin 2015, Antofagasta, Chile)4 Geostatistical Evaluation of Rock-Quality Designation and its link with Linear Fracture Frequency (IAMG 2015, Freiberg, Germany)5 Breccia Pipe Prediction: a new approach using non-stationary covariance (IAMG 2015, Freiberg, Germany

Contributions to modelling and inference of second order non-stationary random functions

Les fonctions aléatoires stationnaires ont été utilisées avec succès dans les applications géostatistiques depuis plusieurs décennies. La structure de dépendance spatiale sous-jacente de la fonction aléatoire est alors représentée par un variogramme ou une covariance stationnaire. Cependant, dans certaines situations, il y a très peu de raisons de s'attendre à une structure de dépendance spatiale stationnaire sur l'ensemble du domaine d'intérêt. Dans cette thèse, deux approches de modélisation non-stationnaire de fonctions aléatoires sont considérées: déformation d'espace et convolution stochastique. Pour chacune d'elle, nous développons une méthodologie statistique d'estimation de la structure de dépendance spatiale non-stationnaire, dans le contexte d'une réalisation unique. Par ailleurs, nous montrons également comment dans ce cadre non-stationnaire, les prédictions spatiales et les simulations conditionnelles peuvent être menées. Les méthodes d'inférence développées permettent de capturer des structures de dépendance variables tout en garantissant la cohérence globale du modèle final. L'évaluation de leur performance selon plusieurs critères, sur des données synthétiques et réelles montre qu'elles donnent de meilleurs résultats de prédiction qu'une méthode stationnaire. Au delà de la prédiction, elles peuvent également servir comme outil pour une analyse exploratoire de la non-stationnarité.Stationary Random Functions have been sucessfully applied in geostatistical applications for decades. The underlying spatial dependence structure of the Random Function is represented by a stationary variogram or covariance. However, in some instances, there is little reason to expect the spatial dependence structure to be stationary over the whole region of interest. In this manuscript, two non-stationary modelling approaches for Random Functions are considered: space deformation and stochastic convolution. For each of them, we develop a statistical methodology for estimating the non-stationary spatial dependence structure, in the context of a single realization. Moreover, we also show how spatial predictions and conditional simulations can be carried out in this non-stationary framework. The developed inference methods allow to capture varying spatial structures while guaranteeing the global consistency of the final model. The assessment of their performance on both synthetic and real datasets show that they outperform stationary method, according to several criteria. Beyond the prediction, they can also serve as a tool for exploratory analysis of the non-stationarity

Contributions à la modélisation et à l'inférence des fonctions aléatoires non-stationnaires de second ordre

Stationary Random Functions have been sucessfully applied in geostatistical applications for decades. The underlying spatial dependence structure of the Random Function is represented by a stationary variogram or covariance. However, in some instances, there is little reason to expect the spatial dependence structure to be stationary over the whole region of interest. In this manuscript, two non-stationary modelling approaches for Random Functions are considered: space deformation and stochastic convolution. For each of them, we develop a statistical methodology for estimating the non-stationary spatial dependence structure, in the context of a single realization. Moreover, we also show how spatial predictions and conditional simulations can be carried out in this non-stationary framework. The developed inference methods allow to capture varying spatial structures while guaranteeing the global consistency of the final model. The assessment of their performance on both synthetic and real datasets show that they outperform stationary method, according to several criteria. Beyond the prediction, they can also serve as a tool for exploratory analysis of the non-stationarity.Les fonctions aléatoires stationnaires ont été utilisées avec succès dans les applications géostatistiques depuis plusieurs décennies. La structure de dépendance spatiale sous-jacente de la fonction aléatoire est alors représentée par un variogramme ou une covariance stationnaire. Cependant, dans certaines situations, il y a très peu de raisons de s'attendre à une structure de dépendance spatiale stationnaire sur l'ensemble du domaine d'intérêt. Dans cette thèse, deux approches de modélisation non-stationnaire de fonctions aléatoires sont considérées: déformation d'espace et convolution stochastique. Pour chacune d'elle, nous développons une méthodologie statistique d'estimation de la structure de dépendance spatiale non-stationnaire, dans le contexte d'une réalisation unique. Par ailleurs, nous montrons également comment dans ce cadre non-stationnaire, les prédictions spatiales et les simulations conditionnelles peuvent être menées. Les méthodes d'inférence développées permettent de capturer des structures de dépendance variables tout en garantissant la cohérence globale du modèle final. L'évaluation de leur performance selon plusieurs critères, sur des données synthétiques et réelles montre qu'elles donnent de meilleurs résultats de prédiction qu'une méthode stationnaire. Au delà de la prédiction, elles peuvent également servir comme outil pour une analyse exploratoire de la non-stationnarité

Predictive Geological Mapping Using Closed-FormNon-stationary Covariance Functions with Locally VaryingAnisotropy: Case Study at El Teniente Mine (Chile)

International audienceThis paper is concerned with the problem of predicting the surface elevation of the Bradenbreccia pipe at the El Teniente mine in Chile. This mine is one of the worlds largest andmost complex porphyry-copper ore systems. As the pipe surface constitutes the limit of thedeposit and the mining operation, predicting it accurately is important. The problem istackled by applying a geostatistical approach based on closed-form non-stationary covariancefunctions with locally varying anisotropy. This approach relies on the mild assumptionof local stationarity and involves a kernel-based experimental local variogram a weightedlocal least-squares method for the inference of local covariance parameters and a kernelsmoothing technique for knitting the local covariance parameters together for kriging purpose.According to the results, this non-stationary geostatistical method outperforms thetraditional stationary geostatistical method in terms of prediction and prediction uncertaintyaccuracies

Estimation de Fonctions Aléatoires Non-stationnaires de Second Ordre par Déformation Spatiale

International audienceLes fonctions aléatoires stationnaires ont été utilisées avec succès dans des applications géostatistiques depuis plusieurs décennies. Cependant, dans certaines situations, l'hypothèse d'une structure de dépendance spatiale homogène sur l'ensemble du domaine d'intérêt se révèle inappropriée. Une approche ingénieuse pour la modélisation de la structure de dépendance spatiale non-stationnaire est la déformation de l'espace. Jusqu'à présent, cette approche n'a pu être fonctionnelle que dans un contexte de données issues de plusieurs réalisations indépendantes d'une fonction aléatoire et présente un certain nombre de manquements. Dans ce travail, nous proposons une approche pour la modélisation géostatistique non-stationnaire utilisant la déformation de l'espace dans le contexte d'une réalisation unique avec des données éventuellement espacés irrégulièrement. La procédure d'estimation combine les outils de lissage par noyaux, positionnement multidimensionnel, fonctions de base radiales, pour transformer la fonction aléatoire initialement non-stationnaire vers un nouvel espace déformé où elle est stationnaire et isotrope. Les techniques classiques pour la prédiction et la simulation peuvent être appliqués dans l'espace déformé. Les résultats prédits et simulés sont ensuite transposés vers l'espace d'origine. Sur un jeu de données synthétiques, la méthode est capable de retrouver la vraie déformation. Un schéma de comparaison du krigeage ordinaire sous les hypothèses stationnaire et non-stationnaire démontre que l'approche proposée a de meilleures performances de prédiction à la fois sur un jeu de données synthétiques et sur un jeu de données de sol. Enfin, nous montrons également que la méthode peut être considérée comme un outil de visualisation de la non-stationnarité

Estimation Of Non-Stationary Random Fields Through Space Deformation

International audienceStationary random functions have been successfully applied in geostatistical applications for several decades. In some instances, the assumption of a homogeneous spatial dependence structure across the entire domain of interest proves untenable. A useful approach for modelling and estimating non-stationary spatial dependence structure is considered. This consists of transforming a non-stationary random field to a stationary and isotropic one via a bijective bi-continuous deformation of the index space. So far, this approach has been sucessfully applied in the context of data from several independent realizations of a random field. In this communication, we propose an approach for non-stationary geostatistical modelling using space deformation in the context of a single realization with possibly irregularly spaced data. The estimation method is based on a non-stationary variogram estimator which serves as dissimilarity measure between two locations in the geographical space. The proposed procedure combines aspects of kernel smoothing, non-metric multi-dimensional scaling and thin-plate spline radial basis functions to transform the original non-stationary random field onto a new deformed space where it is stationary and isotropic. Standard techniques for prediction and simulation can be applied in the deformed space. The predicted and simulated results are then mapped back into the original space. On a simulated data, the method is able to retrieve the true deformation. A comparison scheme of ordinary kriging under stationary and non-stationary assumptions demonstrates that the proposed approach has better prediction performance on both simulated and real datasets. Finally, we also show that the method provides a tool for the exploratory analysis of non-stationarity